Los 17 grupos de simetría

Consideremos un conjunto de puntos del plano, al que llamaremos figura F, los puntos pueden ser, por ejemplo, los pertenecientes a un triángulo o cualquier otro polígono, si bien el conjunto de puntos puede ser tan complicado como podamos imaginar. Llamaremos grupo de simetría de la figura F al conjunto de movimientos del plano que dejan invariante la figura F.

Grupo primero (p1)

Es el grupo más sencillo. Sólo tiene traslaciones, no se dan rotaciones, reflexiones ni reflexiones con deslizamiento. Las celdas resultan ser simétricas respecto de dos ejes de traslación, que no tienen por qué ser perpendiculares. La celda o dominio base tiene forma de paralelogramo.

Grupo Segundo (p2)

Se diferencia del anterior en que, además, puede contener rotaciones en 180º, ejes binarios. Los vectores de traslación pueden formar ángulos distintos de 90º y la rejilla es también un paralelogramo, siendo su celda fundamental la mitad de ese paralelogramo.

Grupo tercero (pm)

Es el primer grupo de simetríaen que se da la reflexión. El eje de reflexión es paralelo a uno de los de traslación y perpendicular al otro ( normalmente la traslación vertical y la reflexión horizontal). La malla es rectangular y la celda base un rectángulo.

Grupo cuarto (pg)

En este grupo ya aparece la simetría con deslizamiento, pero no se dan rotaciones ni reflexiones. La dirección de deslizamiento es paralela a la de traslación y perpendicular a la de simetría. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad de un rectángulo.

Grupo quinto (cm)

Se dan en el reflexiones y reflexiones con deslizamiento pero no rotaciones. La dirección de deslizamiento puede formar cualquier ángulo, pero el eje de reflexión debe ser bisectriz de los de deslizamiento. La rejilla es rómbica y la celda fundamental es la mitad del rombo.

Grupo sexto (pmm)

Este grupo se forma con dos reflexiones de ejes de simetría perpendiculares. No se dan rotaciones ni reflexión con deslizamiento. La rejilla es rectangular, que puede tomarse como base para construir el mosaico a base se traslaciones y la celda base la mitad del rectángulo.

Grupo séptimo (pmg)

Los mosaicos que pertenecen a este grupo se forman mediante reflexiones y rotaciones de 180º (ejesbinarios). El centro de rotación es el punto medio del lado que no es el eje de reflexión. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad del rectángulo.

Grupo octavo (pgg)

En este grupo se dan dos reflexiones con deslizamiento y un giro de 180º. Los dos ejes de reflexión son perpendiculares y el centro de giro es el punto medio del rectángulo que forma la rejilla. La celda unidad la constituye el rectángulo.

Grupo noveno (cmm)

Este grupo tiene dos reflexiones de ejes perpendiculares ( vertical y horizontal) y un giro de 180º con centro en el punto medio del otro lado. La rejilla es rómbica y la celda base es la cuarta parte del rombo.

Grupo décimo (p4)

Este es el primer grupo en el que se da el giro de 90º ( una rotación de orden 4) pero también se dan giros de 180º ( orden 2). No hay reflexiones. La rejilla es cuadrada y el dominio fundamental o celda base es la cuarta parte del cuadrado.

Grupo undécimo (p4m)

Se diferencia del anterior en que también tiene reflexiones además de giros de 90º y 180º. Los ejes de simetría forman ángulos de 45º entre si y se cortan en el centro de giro de 90º. La trama es cuadrada y la celda básica o dominio fundamental es el triángulo mitad del cuadrado.

Grupo duodécimo (p4g)

También tiene reflexiones además de giros de 90º, pero los ejes de simetría son perpendiculares y no pasan por los centros de giro. La trama es cuadrada y la celda básica o dominio fundamental es el triángulo cuarta parte del cuadrado.

Grupo decimotercero (p3)

Es el grupo más sencillo con giros de 120º (tercer orden) y el primero en que la rejilla es hexagonal.

Grupo decimocuarto (p31m)

Este grupo contiene giros de 120º y simetrías respecto de ejes que forman 60º, unos pasan por los centros de rotación y otros no. La malla o rejilla es también hexagonal. La celda base es es el cuadrilátero conocido como "cometa".

Grupo decimoquinto (p3m1)

Se diferencia del anterior en que todos los centros de rotación caen en los ejes de simetría. Tiene giros de 120º. La malla es también hexagonal pero el dominio fundamental o celda base es un triángulo obtusángulo.

Grupo decimosexto (p6)

En este grupo cristalográfico se dan rotaciones de 60º (orden 6). También contiene giros de órdenes 2 y 3, pero no reflexiones. Su malla  y su celda base son hexagonales.

Grupo decimoséptimo (p6m)

Contiene giros de 180º, 120º y 60º además de reflexiones que pasan por todos los centros de giro. En los centro de orden 6 se cortan seis ejes de simetría formando ángulos de 30º. La rejilla y celda base son  hexagonales.

A modo de resumen y con la intención de que sirva para identificar cada grupo de simetría mostramos una posible clasificación:

Antes de terminar esta pequeña introducción, imprime esta hoja de trabajo y entrégala al profesor/a.

Aunque los colores se han usado con fines memramente estéticos, un estudio que puede ser interesante y productivo es el uso del color en los grupos de simetría. Más abajo se reproduce una tabla* en que se relaciona, para cada grupo de simetría, el número de mosaicos o configuraciones diferentes que pueden obtenerse, dependiendo del número de colores que utilicemos ( hasta un máximo de 8), por si alguien desea realizar una comprobación exhaustiva :

 *Los datos de esta tabla fueron originalmente publicados por T.W. Wieting en "La teoría matemática del plano cromático", Marcel Dekker ( 1981). La tabla fue después ampliada en la obra "Mosaicos y patrones"  de Grümbaum y Shephard y yo la he copiado de esta página.