No vamos a tratar aquí sobre las propiedades (que son muchas y muy interesantes) del triángulo de Pascal; vamos a estudiar el triángulo de Pascal en relación a los patrones que pueden formarse.
Si a cada número le hacemos corresponder un cuadrado y marcamos con un color los números pares y con otro los impares obtenemos el patrón:
Ahora nos preguntamos ¿y si coloreamos los múltiplos de 3, 0 (módulo 3) de un color y el resto de otro?, obtenemos este patrón fractal:
Si hacemos lo mismo con los divisores de 4, 5, etc., tenemos:
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 11
.Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 12.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 13.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 14.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 15.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 16.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 17.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 18.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 19.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 20.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 21.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 22.
Patrón de tipo Sierpinski formado al colorear, en el triángulo de Pascal, los divisores de 23.
Observamos que los patrones más sencillos se corresponden con los obtenidos con los números primos.
Ahora nos preguntamos ¿seguirá un patrón el triángulo de Pascal al colorear cada resto de distinto color?, es decir para los divisores de tres, por empezar por algo sencillo, coloreamos los números que son exactos al dividir los números que forman el triángulo de Pascal por tres, 0 (módulo 3), de otro los que dan de resto uno al dividirlos por tres, 1 (módulo 3) y de otro si al dividir por tres dan de resto 2, 2 (módulo 3):
Amarillo= 0 (módulo 3), azul = 1 (módulo 3), rojo = 2 (módulo 3)
Amarillo= 0 (módulo 4), azul = 1 (módulo 4), rojo = 2 (módulo 4) y verde = 3 (módulo 4).
Podemos dar un paso más y preguntarnos qué pasaría si cambiamos la regla de construción del triángulo de Pascal antes de colorear; a los extremos de cada fila los mantenemos en la unidad pero los valores intermedios en vez de con aij = a(i-1)(j-1) + a(i-1)jlos calculamos con la diferencia aij = a(i-1)(j-1) - a(i-1)j , ¿seguirán un patrón?, veámoslo:
El patrón para los divisores de 2 no ha cambiado
Pero al colorear los divisores de 3 sí cambia el patrón
Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 4.
Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 5.
Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 6.
Patrón de Sierpinski sobre el triángulo de Pascal módulo 7.
Y para terminar de demostrar la conjetura un último ejemplo con módulo 11.
Ahora modificamos de nuevo la regla de formación : aij = a(i-1)(j-1) + 2a(i-1)j y dibujamos:
Patrón de Sierpinski módulo 3.
Patrón de Sierpinski módulo 5.
Porqué no hemos dibujado los módulos pares?.
Para terminar sólo indicar que al ser triángulos, se les puede unir para teselar el plano con estos patrones:
