Se sabe que para dos polígonos del mismo área se puede encontrar un determinado número de trozos o pedazos poligonales más pequeños que se pueden unir para formar cualesquiera de los dos polígonos. Una excelente página sobre el tema es la de Weisstein, Eric W. Tal vez la partición más popular y conocida sea el seccionado del cuadrado en cuatro trozos que recomponen un triángulo:
De las múltiples aplicaciones de esta técnica, nos interesa ahora la posibilidad de formar mosaicos, teselar el plano. Es decir partir un polígono o grupo de polígonos en trozos capaces de teselar el plano.
Una regla es usar cada trozo un número de veces proporcional a su área. Cualquier polígono se puede cortar y cambiar para formar un rectángulo de anchura unidad, luego, cualquier polígono cortado en trozos embaldosa el plano, la dificultad (y la diversión) estriba en encontrar los trozos que lo hacen.
Partiendo polígonos regulares
A estas alturas es bien sabido que los triángulos, cuadriláteros y hexágonos teselan el plano, luego sus trozos lo harán, pero el pentágono regular no embaldosa el plano, ¿ lo hacen sus pedazos?.
Si tenemos un pentágono, lo más que cabe esperar es que partido en dos pedazos teselen el plano:
Sin embargo es posible alcanzar una razón piezas/pentágono aún mejor que la anterior (3 trozos/2 polígonos = 1'5), usando dos pentágonos, uno de ellos cortado en dos piezas:
Y los heptágonos?. Con dos heptágonos, uno seccionado en dos trozos y el otro en 3, puede teselarse el plano en una razon 5/2 = 2,5 :
Con los nonágonos, también es posible teselar el plano, por ejemplo, partiendo tres en las piezas:
que es un mosaico aperiódico, las tiras deben combinarse de forma aperiódica para que la densidad de los pedazos sea la adecuada, aunque también se pueden conseguir diseños periódicos.
Partiendo "estrellas"
Estrella de seis puntas
Se pueden encontrar múltiples formas de seccionar una estrella de seis puntas en dos trozos que teselen el plano, uniendo vértices opuestos por ejemplo para formar un "barquito" que ya hemos visto y que nos recuerda al logotipo de cierta entidad bancaria :
pero puede conseguirse que la relación piezas/polígono sea menor de dos como en la anterior (2 trozos/1 polígono = 2/1), ahora tenemos 3 trozos/2 polígonos = 3/2 = 1,5:
Los pedazos pueden colocarse de otras formas, la expuesta más arriba tiene una agradable simetría.
Estrellas de ocho vértices
La estrella de ocho vértices que se forma uniendo vértices alternos (8/2) se puede considerar formada por el solapamiento de dos cuadrados girados 45 grados, lo que puede aprovecharse para formar los trozos y con ellos teselar el plano:
La otra estrella de ocho vértices (8/3) también puede partirse en dos trozos que teselan el plano:
Cuadratura del cuadrado
Es una apartado de la disección de polígonos que ha cautivado mi interés y por eso lo trato.
Cuadrar un cuadrado consiste en teselar un cuadrado con teselas cuadradas distintas. ¿Es posible para cualquier cuadrado?. Siempre que hay una pregunta, el científico intenta encontrar respuestas. Expongamos la cronología:
En 1903 Max Dehn demostró que, eligiendo una unidad de medida apropiada, la medida de los cuadrados distintos que teselan un rectángulo son números enteros.
En 1909, Z. Morón descubrió el primer rectángulo cuadrado de 33x32 utilizando nueve teselas cuadradas (intenta dibujarlo) de lados {1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18} ( si no has podido pulsa aqui) y otro de 65x47 con diez teselas cuadradas de lados {3,5,6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 y 25} que dibujamos:
En 1939 R. Sprague resolvió el problema de la cuadratura del cuadrado con uno de 55 teselas cuadradas diferentes, pero era compuesto (tenía un rectángulo cuadrado más pequeño - formado por cuadrados distintos-).
En 1940, R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte descubrieron el primer cuadrado cuadrado simple (no incluye ningún rectángulo cuadrado) de 69 teselas cuadradas distintas, usando los diagramas de Smith. Brooks siguió trabajando el tema y consiguió reducir el número de teselas a 39.
Brooks consiguió un rectángulo cuadrado de 112x 75 con 13 teselas cuadradas distintas:
y su madre otro con reordenación distinta, lo que facilitaba el conseguir la cuadratura de un cuadrado añadiendo a los dos rectángulos cuadrados iguales con reordenación diferente, los dos cuadrados que faltaban.
En 1948 T.H. Willcocks construyó un cuadrado cuadrado con sólo 24 teselas, pero no era simple. Mientras tanto C.J. Bouwkamp y sus colaboradores catalogaron todos los posibles rectángulos cuadrados con hasta 15 teselas y encontraron un total de 3 663.
En 1962, A. W. J. Duivestijn demostró que el mínimo número de teselas para un cuadrado cuadrado simple era de 21, lo encontró en 1968 y demostró que era el único:
En 1992, Bouwkamp y Duivestijn publicaron 205 cuadrados simples con entre 21 y 25 teselas.
Aunque el tema parezca agotado, no lo está. ¿Qué ocurre con los dominós (rectángulos de doble largo que ancho)? Una forma trivial es cuadrar un cuadrado y añadirle una tesela adicional del tamaño del cuadrado teselado, pero ¿y los no triviales? Otro posible campo de trabajo consiste en teselar superficies diferentes (cilindros, toros, cintas de Moebius, planos proyectivos, cubos, etc.)