Media proporcional, media geométrica

Deseamos dibujar un segmento cuya longitud m sea media proporcional entre otros dos de longitudes conocidas a y b, es decir:

o sea la media geométrica de dos números. Para dibujarla nos basamos en la semejanza de triángulos:

(1) Utilizando el teorema de la altura (forma clásica)

¤ Inserta con Geogebra dos deslizadores k y n.

¤ Dibuja una semirrecta de origen en A.

¤ Transfiere, con una circunferencia con centro en A y radio k, la medida del primer deslizador a la semirrecta, halla la intersección de la semirecta y la circunferencia (B) y dibuja el segmento AB.

¤ Transfiere, por el mismo método, la longitud del segundo deslizador (n) a partir del punto B y etiqueta el punto obtenido como C. Oculta las circunferencias auxiliares y el otro punto de corte. Tienes un segmento AB cuya longitud es a y otro BC cuya longitud es b.

¤ Trazamos una circunferencia cuyo diámetro sea la suma de las longitudes a + b, es decir la del segmento AC, para lo cual necesitamos primero el centro que será el punto medio de AC que etiquetamos O y el radio que es OC (o AO),

¤ Traza un perpendicular a AC por B, que corta a la circunferencia en un punto D.

¤ Dibuja el triángulo ACD y los segmento AB = a, BC = b y BD = m.

¤ Para comprobarlo calcula y comprueba que es igual a BD.

Si modificas las longitudes de los segmentos originales, arrastrando sus deslizadores comprobarás que sigue cumpliendo que la media proporcional entre ellos es BD.

Antes de dejar esta práctica, halla la media aritmética (a+b)/2 en otro archivo y contesta a las preguntas del apartado (11) de la Hoja de trabajo 5.

Guarda sendos archivos como medgeo1 y medaritme.

(2) Utilizando el teorema del cateto (forma alternativa)

¤ Insertamos dos dos deslizadores cuya media proporcional se desea construir.

¤ Dibujamos una semirrecta con origen O y transferimos las medias de ambos deslizadores (circunferencia de centro O y radio cada deslizador) a partir del origen y obtenemos los puntos A y B de manera que las longitudes OA = a y OB =b.

¤ Traza la circunferencia con centro en el punto medio del segmento OB que nominas M y radio MB (o MO).

¤ Levanta una perpendicular por A y en la intersección con la circunferencia tenemos el tercer vértice del triángulo rectángulo OCB (compruébalo).

¤ El cateto OC es la media proporcional que deseamos hallar, pues como, según el teorema del cateto, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella, tenemos:

¤ Mide OC y comprueba que es la raíz de OA·OB.

Guarda el archivo como medgeo2.

(3) Basada en la semejanza de triángulos (forma inusual)

¤ Comienza por dibujar deslizadores que variarán las longitudes de los segmentos cuya media proporcional quieres calcular.

¤ Transfiere sus longitudes a una recta a partir de un punto O y en el mismo sentido, de manera que OA = a y OB = b.

¤ Dibuja el punto medio de OA, que etiquetas M y el simétrico de B respecto de M, que etiquetas B'.

¤ Traza dos circunferencias, una con centro en B y radio BO = b y la otra con centro en B' y radio B'A = b. La intersección superior de ambas es el punto C que forma tres triángulos isósceles:

- El triángulo OBC, de lados OB = BC = b y OC = m.

- El triángulo AB'C, de lados B'A = B'C = b y CA = m.

- El triángulo OCA, de lados OC = CA = m y OA = a.

¤ Explica en el punto (2) de la hoja 5 porqué son semejantes estos tres triángulos.

¤ Luego aplicando la proporcionalidad entre los lados en OBC (ó OB'C) y OCA tenemos :

¤ Explicita las longitudes de los lados OC = OA = m.

¤ Calcula y comprueba que coinciden.

¤ Cambia las longitudes de los segmentos y observa si coinciden la medida y la raíz.

Guarda el archivo como medgeo3.