Generalización del teorema de Pitágoras

Ya sabes que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa (Teorema de Pitágoras). Nos preguntamos ahora, ¿qué sucederá si levantamos sobre los lados del triángulo rectángulo otros polígonos regulares?.

Vamos a experimentar con triángulos equiláteros:

- Dibuja un triángulo rectángulo y sobre sus lados dibuja triángulos equiláteros.

- Halla el área de cada uno de los tres triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo rectángulo y comprueba que la suma de los construidos sobre los catetos es igual al área del construido sobre la hipotenusa :

Teorema de Pitágoras con triángulos equiláteros

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Comprueba ahora que también se cumple el teorema con hexágonos regulares :

Teorema de Pitágoras con hexágonos regulares

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Comprueba que se cumple también con semicírculos :

Teorema de Pitágoras con semicírculos

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¿Se cumplirá también para polígonos irregulares?. Es evidente que alguna relación hemos de establecer entre ellos y parece lógico pensar que han de ser semejantes los tres polígonos irregulares levantadso sobre cada uno de los tres lados del triángulo rectángulo, comprobemos nuestra conjetura :

Nuestra finalidad es construir sobre los tres lados de un triángulo rectángulo triángulos semejantes, es decir si sobre uno de los lados construimos un triángulo que tenga como base ese lado y sobre los otros dos lados hay que levantar triángulos que sean semejantes, ¿la razón de semejanza?, la razón entre las longitudes de los lados.

(i) Traza el triángulo ABC (rectángulo en A).

(ii) Al lado del segmento AB dibujamos un punto D y el triángulo ABD, que nos servirá para levantar los otros dos.

(iii) Hallamos las medidas de los lados y las razones de semejanza respecto del lado AB.

(iv) Ahora hemos de trazar sobre el lado AC un triángulo semejante a ABD para lo cual vamos a usa una herramienta que no hemos utilizado hasta ahora [Dilata objeto segun factor] que dibuja polígonos homotéticos respecto de un punto (centro de homotecia) y según un factor razón de homotecia).

(v) Activamos la herramienta y realizamos la homotecia del triángulo ABD respecto del punto A según el factor AC/AB y tenemos el triángulo que ha de descansar sobre el lado AC, ahora hay que trasladarlo allí.

(vi) Primero un giro de -90º con centro en A y luego una simetría axial respecto del lado A y ya tenemos el triángulo ACD' en posición.

(vii)Ahora hay que seguir los mismos pasos para levantar el triángulo sobre la hipotenusa. Dibujar el homotético de factor BC/AB y centro en B, girarlo el ángulo B y colocar en su posición al triángulo BCD" dibujando su simétrico respecto al lado BC.

(viii) Sólo te queda comprobar que los tres triángulos cumplen el teorema de Pitágoras y que lo siguen cumpliendo aunque modifiques los vértices (ABC) del triángulo rectángulo o el vértice D del triángulo original construido sobre uno de los catetos :

Teorema de Pitágoras con polígonos irregulares

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Si has comprendido bien el procedimiento seguro que no te cuesta mucho tiempo y esfuerzo "coronar" esta generalización del teorema:

Coronación de la generalización del teorema de Pitágoras (¿o al contrario?)

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