Circunferencia de los 9 puntos

La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo, llamada así por J.V. Poncelet, se define: 

En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios que unen los vértices con el ortocentro, están en una circunferencia, cuyo radio es la mitad de la circunferencia circunscrita.

A la circunferencia de los nueve puntos se la conoce también como circunferencia de Euler o circunferencia de Feuerbach.

¤ Dibuja un triángulo cualquiera y halla los puntos medios de los lados, con lo que tienes tres de los nueve puntos A, B y C.

¤ Traza las alturas y sus pies son otros puntos D, E y F. El punto de corte de las alturas, el ortocentro lo nominas M.

¤ Dibuja los puntos medio de los segmentos que unen el ortocentro M con cada uno de los tres vértices del triángulo y los nominas G, H e I, con lo que ya tienes los nueve puntos. Pero ¿cual es el centro?. El centro de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro y del circuncentro, pero no necesitamos saberlo, lo comprobaremos después. Dibujamos dos cuerdas, FH y AI, por ejemplo, y sus mediatrices se cortan en el centro O.

¤ Ya puedes dibujar la circunferencia de centro en O y radio cualesquiera de los nueve puntos.

¤ Comprueba que los nueve puntos ( A, B, C, D, E, F, G, H e I) pertenecen a la circunferencia mediante la herramienta [Pertenece] del grupo {Comprobar propiedades}.

¤ Traza las mediatrices y dibuja el circuncentro (P) y comprueba que el centro O de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del segmento MP formado por el ortocentro (M) y el circuncentro (P).

Una última propiedad: la circunferencia de los nueve puntos es tangente tanto a la circunferencia inscrita como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

¤ Oculta los elementos auxiliares y dibuja la circunferencia inscrita, hallando el incentro como intersección de las bisectrices.

¤ Ahora vas a dibujar las circunferencias exinscritas. Traza rectas por los lados y dibuja las bisectrices exteriores.

¤ Dibuja los exincentros en los puntos de corte de dos bisectrices exteriores con una interior.

¤ Traza por los exincentros perpendiculares a las rectas que pasan por los lados para tener el radio y dibuja las tres circunferencias exinscritas:

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